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n阶行列式的计算方法总结(n阶行列式的展开式详解)

这篇文章和大家聊聊矩阵的初等变换和矩阵的秩。

矩阵的初等变换这个概念可能在很多人听来有些陌生 ,但其实我们早在初中的解多元方程组的时候就用过它 。只不过在课本当中 ,这种方法叫做消元法 。我们先来看一个课本里的例子:

 

 

假设我们要解这个方程,怎么做呢?

首先,我们把(1)式加到(2)式 ,把(4)式加到(3)式,把(1)式乘6加到(4)式可以得到:

 

 

我们再把(4)式减去(2)式乘5,可以解出x4=−3:

 

 

我们把x4=−3带入 ,可以解出x1, x2, x3。

 

 

因为消元之后,方程组的数量少于变量的数量,我们无法解出所有的变量。其中的x3可以取任何值 。

上面这个计算的方法我们都非常熟悉 ,如果我们用一个矩阵来表示所有的次数,那么这个矩阵D可以写成:

 

 

那么,我们刚才消元的过程 ,其实就是对这个矩阵做初等变换。我们把这个过程总结一下,矩阵的初等变换操作包含以下三种:

对调两行

以数k,k≠0乘上某行的所有元素

以数k,k≠0乘上某行所有元素并加到另一行

以上的三种都是针对行为单位的,因此上面的三种变换也称为“行变换”。同样我们也可以对列做如上的三种操作 ,称为“列变换” 。行变换和列变换结合就是矩阵的初等变换。

同样 ,我们可以对D这个矩阵使用刚才我们上述的初等变换操作,将它变成如下这个结果:

 

 

它就对应方程组:

 

n阶行列式的计算方法总结(n阶行列式的展开式详解)

 

Dt矩阵是经过初等行变换的结果,我们还可以再对它进行列变换 ,将它变得更简单,我们只要交换第三和第三列,之后就可以通过初等列变换把第五列消除 ,之后它就变成了下面这个样子:

 

 

我们用数据归纳法可以很容易证明,所有的m*n的矩阵经过一系列初等变换,都可以变成如下的形式:

 

 

r就是最简矩阵当中非零行的行数 ,它也被称为矩阵的秩。我们把A矩阵的秩记作: R(A)

之前我们在介绍行列式的时候说过,行列式还存在多种性质 。其中之一就是一个矩阵经过初等变换,它的行列式保持不变。我们又知道 ,如果行列式当中存在某一行或者某一列全部为0,那么它的行列式为0。

所以,我们可以得到 ,对于n阶矩阵A而言 ,如果它的秩R(A)

再根据我们前文当中有关可逆矩阵的定义 ,可以得到,可逆矩阵的秩就等于矩阵的阶数,不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。所以 ,可逆矩阵又称为满秩矩阵,不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为降秩矩阵 。

之前我们在复习行列式以及逆矩阵的时候,总觉得少了些什么 ,现在有了矩阵的秩的概念之后,这些知识就能串起来了 。

代码计算

同样,numpy当中也继承了计算矩阵秩的工具。我们可以很轻松的用一行代码算出矩阵的秩 ,这样我们在判断矩阵是否可逆的时候,就不需要通过行列式来判断了。因为矩阵秩的计算要比行列式的计算快得多 。

import numpy as np

np.linalg.matrix_rank(a)

 

 

有了矩阵秩的概念之后,我们后续的很多内容介绍起来都方便了许多 ,它也是矩阵领域当中非常重要的概念之一。

线性方程组的解

我们理解了矩阵的秩的概念之后 ,我们现学现用,看看它在线性方程组上的应用。

我们之前在介绍行列式的时候,曾经介绍过n元n个等式的方程组的解 ,可以用行列式表示 。但是现实当中我们遇见的方程组并不一定是n元n等式的,我们推广到一般的情况来看。假设当下有一个n元m个等式的方程组:

 

 

我们可以将它写成矩阵相乘的形式:Ax = b

 

 

我们利用系数矩阵A和增广矩阵B=(A,b)的秩,可以和方便地看出线性方程组是否有解。我们先来看结论:

当R(A) < R(B)时无解

当R(A) = R(B) = n时 ,有唯一解

当R(A) = R(B) < n时,有无数解

证明的过程也很简单,主要就是利用矩阵秩和最简矩阵的定义 。

我们假设R(A)=r ,并将B矩阵化简成最简形式,假设得到的结果是:

 

 

(1) 显然,当R(A) < R(B)时 ,那么矩阵Bf中的dr+1 = 1,那么第r + 1行对应的方程0 = 1矛盾,所以方程无解。

(2) 如果R(A) = R(B) = r = n ,那么矩阵Bf中的dr+1 = 0 ,并且 bij都不出现,所以我们可以直接写出方程组的解:

 

 

此时,方程组有唯一解

(3) 如果R(A) = R(B) = r < n ,则B中的dr+1=0,我们写出对应的解:

 

 

 

由于参数c1, c2, … cn-r可以取任意值,所以方程有无数解。上面写出的解的形式即是线性方程组的通解 。

齐次线性方程组

如果我们将上面的线性方程组的常数项都置为0 ,就称为齐次线性方程组,如下:

 

 

齐次方程组最大的特点就是当x=0时一定有解,称为方程组的零解。我们还通过增广矩阵来判断 ,写出来其实还是刚才一样的形式:

 

 

和非齐次线性方程组不同的是,我们可以断定dr+1=0,如此一来就不存在无解的情况。这个时候我们要判断的就是方程组是否存在非零解 ,我们一样通过矩阵的秩来判断,判断的条件也很简单,如果R(A) = n ,则不存在非零解 ,如果R(A) < n,则存在无数组非零解 。

我们先写出R(A) = n的情况,这时候的矩阵Bf为:

 

 

也就是说:

 

 

当R(A) < n时方程组和非齐次方程组类似 ,唯一不同的是可以确定di=0 (i=1, 2, …n),我们直接带入之前的通项公式,可以得到:

 

 

线性方程组的解的公式和计算本身其实并不重要 。因为在实际的算法领域 ,用到的也不多。但是理解线性方程组对于理解后面的向量以及线性空间非常有帮助,文中的公式看着恐怖,但冷静下来真的去试着理解一下 ,会发现也就那么回事。

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